Biessels studeerde geneeskunde en medische biologie aan de Universiteit Utrecht en promoveerde in 1997 op het proefschrift 'Cerebral function in diabetes mellitus'. In 1998 begon hij aan zijn opleiding tot neuroloog in het UMC Utrecht die hij in 2004 voltooide.

In 2012 werd Biessels benoemd tot hoogleraar Neurologie aan het UMC Utrecht, met als expertise Cerebrovasculaire ziekten en cognitie. Binnen het aandachtsgebied beroerte van het UMC Utrecht Hersencentrum richt Biessels zich op 'Vascular Cognitive Impairment(VCI)', cognitieve stoornissen ten gevolge van hersenvaatschade. De onderzoeksgroep naar VCI die Biessels leidt is multidisciplinair van aanpak en werkt aan het beter in kaart brengen van oorzaken en de functionele consequenties van VCI. In 2010 is er een VCI polikliniek opgericht waar de nieuwste inzichten in de praktijk worden gebracht. Tevens ontving Biessels in 2010 de VIDI subsidie voor zijn onderzoek 'Wie krijgt dementie door vaatschade?'.